[SOLVED] MATH2003J OPTIMIZATION IN ECONOMICS BDIC 2023/2024 SPRING Problem Sheet 3 SQL

MATH2003J,  OPTIMIZATION IN  ECONOMICS,

BDIC  2023/2024,  SPRING

Problem Sheet 3

Θ  Question 1:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (x, y) = 5×2 + 5y2 + 1 subject to the constraint xy = 1.

Θ  Question 2:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (x, y) = x+3y subject to the constraint x2 + y2 = 10.

Question 3:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (x, y) = 2×2 + 2y2 + 1 subject to the constraint x2 + xy + y2  = 6.

Θ  Question 4:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum of f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1x2x3 subject to the constraint x1 + 2×2 + 3×3 = 24.

Question 5:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (x,y, z) = x + 2y + 2z subject to the constraint x2 + y2 + z2 = 9.

Θ  Question 6:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (w, x,y, z) = w + x + y + z subject to the constraint w2 + x2 + y2 + z2 = 1.

Θ  Question 7:

Use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum of f (x,y, z) = y subject to the constraints z = x + y and 2×2 + y2 + 2z2 = 8.

Θ  Question 8:

Find the minimum of x2 − 2x + 2y2 + z2 + z subject to the constraints x + y + z = 1     and      2x − y − z = 5.

Question 9:

Find the maximum and the minimum of x + 2y subject to the constraint x2 + y2 = c, where c is a positive constant. Explain why the maximum and the minimum are attained.

Θ  Question 10:

A company is planning to sell a new product at the price of  ¥125 per unit and estimates that if x euro is spent on training staff and y euro is spent on advertising the product, then

y + 300/50y + x + 200/75x 

units of the product will be sold. The cost of manufacturing the product is  ¥45 per unit. If the company has a total of  ¥5,000 to spend on training staff and advertisement, how should this money be allocated to generate the largest possible profit?

+ Note: the profit function is given by

(No.   of units)  × (price per unit – cost per unit) – total amount spent on training and advertisement