[SOLVED] MATH2003J OPTIMIZATION IN ECONOMICS BDIC 2023/2024 SPRING Problem Sheet 11 R

MATH2003J,  OPTIMIZATION IN  ECONOMICS,

BDIC  2023/2024,  SPRING

Problem Sheet 11

Θ  Question 1:

Consider the sets:

A = {(x, y) ∈ R2  ∣ x2 + y2  ≤ 4, ∣y∣ ≤ 1}

B = {(x, 0) ∈ R2  ∣ x ∈ [0, 10]}

C = {(x, y) ∈ R2  ∣ y2  ≤ x − 4, x ≤ 8}

(a). Sketch the set A U B U C and decide if it is closed and bounded.

(b). Are A, B , C convex? Is the set A U B U C convex? Justify your answer.

(c). Consider the function f : A U B U C → R defined by f(x, y) = x + y.  Find the absolute maximum and minimum of f.

Question 2:

Decide if the following sets are convex or not, and justify your answers:

(1) A = {(x, y) ∣ x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0}

(2) B = {(x, y) ∣ x2 + y2 ≤ 4}

(3)  C = Z ⊂ R.

(4)  D = {sin(1/x) ∣ x ∈ (0, +∞)} ⊂ R.

(5)  E = {(x, y) ∈ R2  ∣ y2  ≤ x}.