[SOLVED] MATH 127 Sample Exam 3B

MATH 127: Sample Exam 3B

Wednesday, November 20, 2024

1.   (a) Let m be a positive integer and suppose that for some n ∈ Z, m | 8n+3 and m | 5n+2.

Determine (with proof) all possible values of m.                                                                   [7 pts]

(b)  Let m be a positive integer such that 4 · 5  ≡ −4  (mod m) but 3 + 6  ≢ 1  (mod m).

Determine (with proof) all possible values of m.                                                                   [8 pts]

2.   (a)  Give an example of distinct uncountable sets A and B such that A 、B is countably infinite. Simply state your sets A, B, and A 、B. No further justification is required.       [5 pts]

(b)  Give an example of distinct uncountable sets A and B such that A ∩ B is uncountable.

Simply state your sets A, B, and A ∩ B. No further justification is required.                     [5 pts]

(c)  Give an example of distinct uncountable sets A and B such that A△B is finite and nonempty. Simply state your sets A, B, and A△B. No further justification is required.

Recall:  A△B = (A 、B) ∪ (B 、A) is  the  symmetric  difference.                                                 [5 pts]

3.   (a)  Compute φ(63)                                                                                                                           [5 pts]

(b)  Suppose n ∈ Z with gcd(n,63) = 1.  Which of the following are possible orders of n modulo 63? Circle all that apply.            [5 pts]

(i) 4   (ii)  63

(iii)  36 (iv)  6

(v)  1  (vi) -2

(c)  Determine the order of 5 modulo 63.                                                                                       [5 pts]

(d)  Find the least nonnegative residue of the inverse of 5 modulo 63.                                         [8 pts]

(e)  Find the least x ∈ N satisfying the congruence 40x ≡ 56  (mod 63).                                      [8 pts]

4.  Construct a bijection between P(N) and P(N)∖{∅ }. Prove that your function is a bijection.

You  do  not need to prove  well-definedness.                                                                                                  [24 pts]

5.  Prove that for any a,b ∈ Z, if 3 ∤ a and gcd(a,b) = 1 then gcd(a + 3b,ab) = 1.                            [15 pts]