, , , ,

[SOLVED] Coursework for Probability for Statistics 2024-2025 SQL

$25

File Name: Coursework_for_Probability_for_Statistics_2024-2025_SQL.zip
File Size: 518.1 KB

5/5 - (1 vote)

Coursework for Probability for Statistics 2024-2025

Deadline: November 15th, 12PM (noon) on Turnitin

Your solutions should be written in LaTeX. This coursework contains two questions (worth 100 marks total) and a small puzzle at the end for fun (worth 0 marks).

Q1: The Infinite Coin Toss Model (80 Marks)

In this question we think about how to model probabilities for an infinite se- quence of random variables.   A  natural and simple example is to consider a probability space describing the outcome of infinitely many fair coin tosses.

Let Ω = {H, T}N , i.e.  the set of all possible infinite sequences of heads (H) and tails (T). An element ω ∈ Ω will be of the form. ω = (ω1 ,ω2 ,ω3,…), where ωi  ∈ {H, T}.

For n N define

Fn  = {[An] for all An  ⊂ {H, T}n },

where [An] ⊂ Ω is the set of all infinite coin toss sequences for which the outcome of the first n tosses lies in An , i.e.

[An] = {ω ∈ Ω :  (ω1,…,ωn ) ∈ An }.

For example, for A1  = {H}, the set [A1] is the set of all sequences of coin tosses for which the first toss is a H.

1. Show that Fn  ⊂ Fm  for all m ≥ n.  Hint:   Do it for m = n + 1 first  (10 marks).

2. Prove that F = nNFn isan algebra. Hint:  First show that [An Bn] =

[An] [Bn] and [An(c)] = [An]c   (20 marks).

3. Is Fa σ-algebra? Justify your answer.  Hint:  Consider the set F = {ω ∈ Ω : every odd toss is H} (20 marks).

4. Let P : F→ R be defined by

P([An]) = 2n/|An|,

where |An | denotes the number of elements in An. Show that P defines a probability measure on F (10 marks).

5. Let F = σ(F ) the smallest σ-algebra containing F .  Briefly explain how P can be extended to a unique probability measure on F (5 marks).

6.  Let A  be the event of getting heads infinitely often  (i.o.).   Show  that P(A) = 1.  Hint:  It might be easier show that P(Ac ) = 0 using continuity of probability measures.  (15 marks)

Q2: Lebesgue Measure (20 marks)

Provide a proof for the following propositions.

•  The Lebesgue measure of a countable set in R is 0 (10 marks).

•  There exists nouncountably additive probability measure on ([0 , 1], B[0 , 1], P) such that P({x1 }) = P({x2 }) for all x1 , x2  ∈ [0, 1].  I.e.  it cannot be that   for a disjoint sequence of sets At  indexed by t ∈ [0, 1]

(10 marks).

Q3: Puzzle (0 Marks)

•  True or false.  Any nested collection of subsets (call it M) of a countable set is  always countable,  e.g.   if E1 , E2   ∈ M then either E1   ⊂ E2   or E2  ⊂ E1 .  If true, give a proof, if false give a counter example.

Reviews

There are no reviews yet.

Only logged in customers who have purchased this product may leave a review.

Shopping Cart
[SOLVED] Coursework for Probability for Statistics 2024-2025 SQL
$25