Spieltheorie in der Ökonomie: Pareto-Optimalität, Nash-Gleichgewichte und Evolutionäre Stabilität

Einführung in die Spieltheorie für die Wirtschaftswissenschaften

Die Spieltheorie ist ein zentrales Werkzeug der Mikroökonomie, um strategische Interaktionen zu analysieren. Ob bei Preiswettbewerben zwischen Unternehmen, Verhandlungen in der Politik oder sogar bei der Entwicklung von KI-Agenten in Videospielen – die Konzepte wie Pareto-Optimalität, Nash-Gleichgewicht und evolutionär stabile Strategien (ESS) helfen, rationale Entscheidungen zu verstehen. In diesem Tutorial bereiten wir dich auf typische Klausurfragen vor, wie sie in der Econ 0200 Klausur vorkommen. Wir nutzen aktuelle Beispiele aus dem Jahr 2026, etwa den Wettbewerb zwischen KI-Startups oder die Strategien in populären Online-Spielen.

Pareto-Optimalität und Nash-Gleichgewichte

Ein Ergebnis ist Pareto-optimal, wenn kein Spieler besser gestellt werden kann, ohne einen anderen schlechter zu stellen. In einer 2x2-Matrix wie Spiel 1 (A,B) mit Auszahlungen (1,1), (15,4), (4,15), (7,7) sind die Pareto-optimalen Ergebnisse diejenigen, die nicht dominiert werden. Hier sind (15,4) und (4,15) Pareto-optimal, da sie jeweils einen Spieler besser stellen, ohne den anderen zu schädigen? Nicht ganz: (15,4) ist besser für Spieler 1 als (1,1), aber Spieler 2 bekommt 4 statt 1, also ist (15,4) Pareto-superior zu (1,1). (7,7) ist ebenfalls Pareto-optimal, da man nicht beide verbessern kann. Tatsächlich sind alle außer (1,1) Pareto-optimal? Prüfen: (15,4) vs (7,7): Spieler 1 bevorzugt 15 > 7, Spieler 2 bevorzugt 7 > 4, also sind beide nicht eindeutig besser. Daher sind (15,4), (4,15) und (7,7) Pareto-optimal.

Das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien liegt vor, wenn kein Spieler durch einseitiges Abweichen seinen Nutzen steigern kann. Für Spiel 1: (B,A) mit (4,15) ist ein Nash-GG? Prüfen: Wenn Spieler 1 B wählt, ist beste Antwort auf A? Spieler 1 bekommt 4, bei Abweichen zu A bekommt er 1, also kein Anreiz. Spieler 2 bekommt 15, bei Abweichen zu B bekommt er 7, also kein Anreiz. Also (B,A) ist Nash-GG. (A,B) mit (15,4) analog. (B,B) mit (7,7): Spieler 1 bekommt 7, bei Abweichen zu A bekommt er 15, also Abweichen lohnt sich? 15 > 7, also kein Nash-GG. (A,A) mit (1,1): Spieler 1 bekommt 1, Abweichen zu B bringt 4, also kein Nash-GG. Somit sind (A,B) und (B,A) die Nash-Gleichgewichte.

Evolutionär stabile Strategien (ESS)

Eine Strategie ist evolutionär stabil, wenn sie sich in einer Population gegen Eindringlinge behaupten kann. In Spiel 1 testen wir A: Fitness von A = 1*p + 15*(1-p) und Fitness von B = 4*p + 7*(1-p). Für p=1 (nur A) ist Fitness A=1, Fitness B=4, also B ist besser, daher ist A nicht ESS. Für B: Fitness A = 1*p+15*(1-p), Fitness B=4*p+7*(1-p). Für p=0 (nur B) ist Fitness A=15, Fitness B=7, also A ist besser, daher B nicht ESS. Keine ESS, aber es gibt ein statisches Mittel? Das statische Mittel (gemischte Strategie) ist der Punkt, an dem die Fitness beider gleich ist: 1*p+15*(1-p) = 4*p+7*(1-p) → p=8/11? Rechnen: 1p+15-15p = 4p+7-7p → 15-14p = 7-3p → 8 = 11p → p=8/11. Dieses gemischte Gleichgewicht ist instabil, da beide reinen Strategien besser sind, wenn die Population vom Mittel abweicht.

Wiederholte Spiele und Kooperation

In unendlich wiederholten Spielen kann Kooperation durch Grim Trigger oder Tit-for-Tat aufrechterhalten werden, wenn der Zinssatz (bzw. Diskontfaktor) ausreichend niedrig ist. In Spiel 4 mit Auszahlungen (7,7), (26,6), (6,26), (19,19) ist (7,7) die kooperative Lösung, aber (19,19) ist das Nash-GG. Für Grim Trigger muss der Diskontfaktor r so sein, dass der Barwert der Kooperation größer ist als der einmalige Betrugsgewinn. Aktuell im Jahr 2026, wo KI-Agenten in Cloud-Spielen oft wiederholt interagieren, sind solche Bedingungen entscheidend für die Stabilität von Bündnissen.

Best-Response-Graphen und evolutionäre Graphen

Ein Best-Response-Graph zeigt für jede Strategie des Gegners die beste Antwort. In Spiel 1: Wenn Spieler 2 A wählt, ist beste Antwort B (4>1). Wenn Spieler 2 B wählt, ist beste Antwort A (15>7). Der Graph hat Pfeile von A zu B und von B zu A. Der evolutionäre Graph zeigt, wie sich die Population im Zeitverlauf entwickelt. Startet man mit 50% A, 50% B, bewegt man sich zum gemischten Gleichgewicht, das aber instabil ist.

Anwendung: Bertrand- und Cournot-Wettbewerb

Im Bertrand-Modell mit zwei Firmen und homogenen Gütern führt Preiswettbewerb zum Grenzkostenpreis. In Aufgabe 11 haben Firma 1 Kosten von 238 pro Einheit, Firma 2 Kosten von 174. Im Bertrand-Gleichgewicht setzt die günstigere Firma (Firma 2) einen Preis knapp unter 238, um den gesamten Markt zu bedienen. Im Cournot-Modell wählen die Firmen Mengen. Die Reaktionsfunktionen ergeben sich aus der Gewinnmaximierung. Die Gleichgewichtsmenge für Firma 1 ist q1 = (750 - 2*238 + 174)/3? Wir berechnen: P=750 - Q, Kosten: C1=238q1+10000, C2=174q2+20000. Gewinn π1=(750 - q1 - q2)q1 - 238q1 -10000. Bedingung erster Ordnung: 750 - 2q1 - q2 -238 = 0 → q1 = (512 - q2)/2. Analog q2 = (576 - q1)/2. Gleichungssystem: q1 = (512 - q2)/2, q2 = (576 - q1)/2. Einsetzen: q1 = (512 - (576 - q1)/2)/2 = (512 - 288 + q1/2)/2 = (224 + q1/2)/2 = 112 + q1/4 → (3/4)q1=112 → q1=149.33, q2= (576-149.33)/2=213.335, Preis=750-362.665=387.335. Gewinne: π1=387.335*149.33 -238*149.33-10000, π2 analog.

Rationalisierbare Strategien und Stufen

In Spiel 6 (Schätzspiel) ist das Nash-Gleichgewicht, wenn alle die Zahl wählen, die 3/4 des Durchschnitts plus 10 entspricht. Im Gleichgewicht gilt x = (3/4)x + 10 → x=40. Stufe 1: Annahme, dass andere zufällig wählen, Stufe 2: andere denken eine Stufe voraus, usw. Die rationalisierbaren Bereiche schrumpfen auf 40.

Fazit

Die Spieltheorie ist ein mächtiges Werkzeug, das in der heutigen KI-gesteuerten Welt immer relevanter wird. Mit diesen Konzepten bist du bestens gerüstet für die Klausur. Übe die Berechnungen und zeichne die Graphen – viel Erfolg!