[SOLVED] Lineare Algebra I Übungsblatt 02 Wintersemester 2024/25

Lineare Algebra I – Übungsblatt 02

Wintersemester 2024/25

Aufgabe 1.

Sei G eine Menge mit zwei Elementen. Beweisen Sie, dass G genau zwei Gruppenstrukturen zulässt.

Hinweis: Beweisen Sie, dass die Wahl des neutralen Elements die Gruppenstruktur bestimmt.

Aufgabe 2.

Sei (G, ·) eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Wir definieren eine Relation

Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist genau dann, wenn H ≠ ∅ und das Folgende gilt:

Hinweis: Beweisen Sie zuerst, dass 

Aufgabe 3.

1. Für n ∈ N definieren wir eine Relation Rn = {(x, y) ∈ Z × Z | n dividiert x − y}.

Beweisen Sie, dass Rn eine Äquivalenzrelation auf Z ist.

2. Für x ∈ Z bezeichne  das Bild von x unter der kanonischen Projektion Z → Z/Rn.

Beweisen Sie, dass 

Aufgabe 4.

Geben Sie eine Bijektion zwischen N × N und N an.

Hinweis: Verwenden Sie, dass jede natürliche Zahl (ungleich 0) ein Produkt aus einer ungeraden Zahl und einer Zweierpotenz ist.