[SOLVED] MTH 219 Complex Functions Coursework 2 AY 2024/2025 Processing

MTH 219 Complex Functions Coursework 2 AY 2024/2025

Problems

1.  Find the residue of the function z3ez/1 at z = 0 and show that it has no anti-derivative on the punctured complex plane C {0}.                           (18 marks)

2.  Find the Laurent series of z2 – 3z + 2/1 valid in following the regions respectively:          (20 = 10 + 10 marks)

A1 = {z ∈ C | 0 < |z − 1| < 1}     and     A2  = {z ∈ C | 1 < |z| < 2}.

3.  Locate the singularities off f(z) = ez + 1/(z2 + π2)2 and determine their types. If a singularity is a pole, find its order.           (16 marks)

4.  Solve the following problem.                                                                                                      (16 = 6 + 10 marks)

(a)  State Liouville’s theorem.

  Show that the function g(z) = z/sinz, is not bounded on C {0}.

5.  Let f (z) = z4 + 2/z2.                                                                                                 (20 = 5 + 5 + 5 + 5 marks)

(a)  Let R > 0 is a real number.  Sketch the contour C = L + γR , where γR (t) = Reit , 0 ≤ t ≤ π , and L(t) = t, −R ≤ t ≤ R.

(b)  Show that γR f (z)dz → 0 if R → ∞ .

(c)  Assume that R > 2.  Calculate C f (z)dz.  (Hint:  Use Cauchy’s residue theorem.)

  Using the results obtained in (a)-(c), evaluate the improper integral  x4 + 2/x2dx.

Total mark:  100 marks = Problems (90 marks) + Clarity of computations and mathematical reasoning, as well as neatness of overall presentation (10 marks).